Teoria:

Kolmion kulmien summa on \(180°\).
Pierad.png
 
Todiste.
 
Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota \(KLM\) ja todetaan, että \(K +\)\(L +\)\(M =\)180°.
 
Piirretään \(L\) pisteen yläpuolella suora \(a\), joka on samansuuntainen \(KM\) sivun kanssa.
Numerolla \(1\) merkityt kulmat ovat toistensa ristikulmat, koska ne ovat yhdensuuntaisia suoria (\(a\) ja \(KM\)) leikkaavan suoran (\(KL\)) muodostamia. Numerolla \(2\) merkityt kulmat ovat myös toistensa ristikulmia, koska ne ovat samojen yhdensuuntaisten suorien leikkaavan suoran (\(ML\)) muodostamia.
 
Kulmat  \(1\), \(2\) ja \(3\) muodostavat yhteensä oikokulman huippukulman \(L\) kanssa, joten 
\(1 +\)\(2 +\)\(3 =\) 180°tai \(K +\)\(L +\)\(M =\)180°.
 
Lause on todettu oikeaksi.  
Seuraamukset lauseen kolmion kulmien summasta
Seuraamus 1. Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa on 90°.
 
Seuraamus 2. Tasasivuisen suorakulmaisen kolmion kaikki terävät kulmat ovat  45°.
 
Seuraamus 3. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60°.
 
Seuraamus 4. Kaikissa kolmiossa kulmat ovat joko kaikki terävät tai vaan kaksi kulmaa ovat terävät ja kolmas on tylppä- tai terävä kulma.
 
Seuraamus 5. Kolmion ulkokulman suuruus on sama kuin kahden sisäkulman summa, mutta ei ulkokulman viereisen sisäkulman summa.
Arejsl.png
 
Todiste.
Tosi lausekkeesta \(KML +\)\(BML=\) 180° ja \(K +\)\(L +\)\(KML =\)180° saadaan, että \(BML =\)\(K +\)\(L\).

Teräväkulmainen, suorakulmainen ja tylppäkulmainen kolmio
Kuten edellä neljäs seuraamus lauseen kolmion kulmien summasta sanoo, voidaan eritellä kulmien perusteella kolme kolmion luokkaa.
 
Saurl.png
 
Kolmiolla \(KLM\) kaikki kulmat ovat terävät.
 
Taisnl.png
 
Kolmiolla \(KMN\) kulma \(K = 90\)°.
Suorakulmaisella kolmiolla suoran kulman vastaista sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Kahta muuta sivua kutsutaan kateeteiksi.
 
Kuvassa \(MN\) on hypotenuusa, \(MK\) ja \(KN\) ovat kateetit.
 
Platl.png
 
Kolmiolla \(KLM\) on yksi tylppä kulma.