Toisen asteen yhtälöt — oppitunti. Matematiikka, 8.luokka.

Toisen asteen yhtälö on muotoa

a x^{2} + bx + c = 0

jossa \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat reaalilukuja ja

a \neq 0

4 x^{2} - 3 x + 1 = 0

\(a = 4\)

\(b = -3\)

\(c = 1\)

Toisen asteen yhtälön juurien löytäminen onnistuu seuraavan kaavan avulla:

x_{1}

\(=\)

\frac{- b + \sqrt{D}}{2 \cdot a}

x_{2}

\(=\)

\frac{- b - \sqrt{D}}{2 \cdot a}

, jossa\(D =\)

b^{2} - 4ac

\(D\) on nimeltään diskriminantti.

Diskriminantin arvosta voidaan päätellä toisen asteen yhtälön juurien lukumäärä.

Jos \(D < 0\) (on negatiivinen) yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta.

Jos \(D = 0\), yhtälöllä on kaksoisjuuri eli kaksi yhtä suurta reaalilukujuurta.

Jos \(D > 0\) (on positiivinen) yhtälöllä on kaksi eri suurta reaalista juurta.

Redusoitu toisen asteen yhtälö (termin

x^{2}

kerroin on yhtä suuri kuin \(1\), eli \(а = 1\))

x^{2} + bx + c = 0

voidaan ratkaista Vietan kaavalla:

\{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = c \\ x_{1} + x_{2} = - b \end{cases}

Vaillinaiset toisen asteen yhtälöt

Vaillinaisten toisen asteen yhtälöjen luokat ovat:

1. Jos \(c = 0\), niin

a x^{2} + bx = 0

2. Jos \(b = 0\), niin

a x^{2} + c = 0

Vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä voidaan ratkaista diskriminanttikaavalla, mutta on järkevämpi käyttää muita keinoja:

a x^{2} + bx = 0

ratkaistaan jakamalla alkutekijöihin (viedään \(x\) sulkeiden ulkopuolelle)

x \cdot (ax + b) = 0

\(x = 0\) tai \(ax+b=0\) Se tarkoittaa, että toinen juuri on \(0\), ja toinen

x = \frac{- b}{a}

(kahden tai useamman luvun tulo on \(0\) vain silloin, kun ainakin yksi tulon
jäsenistä on \(0\)).

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 30 x = 0 \\ x (2 x - 30) = 0 \\ x = 0 tai 2 x - 30 = 0 \\ 2 x = 30 \\ x = 15 \end{array}

Vastaus: \(x = 0\); \(x = 15\)

a x^{2} + c = 0

ratkaistaan juurtamalla jokainen yhtälön osa.

a x^{2} = - c

(molemmat osat jaetaan \(a\):lla)

x^{2} = - \frac{c}{a}

\(|x| =\)

\sqrt{\frac{- c}{a}}

Juurtamalla yhtälön vasen puoli saadaan \(x\):n itseisarvo.

Se tarkoittaa, että

x_{1}

\(=\)

\sqrt{\frac{- c}{a}}

x_{2}

\(=\)

- \sqrt{\frac{- c}{a}}

\begin{array}{l} 4 x^{2} - 100 = 0 \\ 4 x^{2} = 100 | : 4 \\ x^{2} = 25 \\ |x| = \sqrt{25} \end{array}

tästä seuraa, että

x = 5

tai

x = - 5

Vastaus:

x_{1} = 5

;

x_{2} = - 5

\begin{array}{l} x^{2} + 36 = 0 \\ x^{2} = - 36 \end{array}

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska neliöjuuri negatiivisesta luvusta ei ole määritelty; lisäksi tiedetään, että luvun toinen potenssi on mikä tahansa epänegatiivinen kokonaisluku.

Vastaus: ei ole juuria

Takaisin aiheeseen

Seuraava tehtävä

Lähetä palautetta

Löysitkö virheen?

Ilmoita meille!

1. Toisen asteen yhtälöt

Teoria: